Si riporta un colloquio tra Marco, che e' il consulente di investimento protagonista dei dialoghi pubblicati per Aduc e Barbara, sua amica e cliente, che ha quarantadue anni, lavora come impiegata ed e' sposata.

-Barbara. Ciao Marco. Posso disturbarti?
-Marco. Ciao Barbara. Dimmi tutto.
-Barbara. Marco la scorsa settimana ho letto il colloquio che hai avuto con Cristina sulle sequenze casuali (clicca qui. Mi e' piaciuto molto. Ho provato con mio marito a vedere se anche lui non riuscisse a creare delle sequenze casuali. Anche lui ha scritto una sequenza di teste e croci simile a TCTCTCCCTTCTCTCCTTTCT, con serie consecutive di testa o croce troppo brevi rispetto a quanto ci si puo' aspettare dal caso. Quando gli ho detto che avrebbe potuto scrivere anche la sequenza TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT e' rimasto sbalordito. Non si capacitava del fatto che entrambe abbiano la stessa probabilita' di uscita.
-Marco. Lo so Barbara, capita a tutti noi di credere alla legge dei piccoli numeri piu' che a quella dei grandi numeri. Le persone ritengono un campione limitato di eventi scelto a caso da una popolazione come altamente rappresentativo delle caratteristiche della popolazione stessa. La statistica invece insegna che solo i grandi campioni di dati sono rappresentativi della popolazione dalla quale sono presi.
-Barbara. Quindi la legge dei grandi numeri non deve essere applicata necessariamente anche ai piccoli campioni di dati.
-Marco. Esatto Barbara. Hai proprio ragione. Non solo noi crediamo che le serie casuali siano non casuali o positivamente correlate, ma riteniamo che le serie non casuali o correlate negativamente siano casuali!
-Barbara. Io e mio marito abbiamo poi discusso molto sulla tua affermazione secondo la quale i cambiamenti di prezzo seguono approssimativamente un random walk, ossia un cammino casuale, in quanto lui sostiene che non solo il movimento dei prezzi delle azioni e' casuale nel breve termine, ma anche per orizzonti maggiori, come un anno. Come e' possibile se molti ricercatori finanziari dicono di riuscire a stimare il rendimento atteso che ci si puo' attendere da un anno all'altro?
-Marco. Aspetta un attimo Barbara. Non vorrei che tu stia facendo un po' di confusione. Gli economisti che ritengono che i cambiamenti di prezzo delle azioni siano casuali, giungono alla conclusione che la migliore previsione del prezzo al tempo t+1 e' in assenza di nuove notizie il prezzo al tempo t. Cioe' il prezzo di domani e' atteso essere pari a quello di oggi. Questa indipendenza tra le aspettative di cambiamento di prezzo date le informazioni disponibili e' cio' che richiede il modello della martingala, meno severo di quello di random walk. Questo significa che la migliore previsione del rendimento del prossimo anno deve essere pari al rendimento medio storico che si e' realizzato fino ad ora. Quindi tuo marito ha ragione quando dice che i rendimenti annuali dei mercati azionari sono casuali, anche se un economista che ritiene che la distribuzione di probabilita' dei ritorni sia stazionaria nel tempo e conosciuta con precisione, direbbe che il rendimento annuale e' imprevedibile, in quanto si muove in modo casuale attorno alla media di lungo periodo. La migliore previsione del rendimento del prossimo anno e' il ritorno che vi e' sempre stato di media nel mercato di riferimento.
-Barbara. Mi puoi spiegare piu' chiaramente questo punto?
-Marco. Alcuni economisti ritengono che il rendimento ex ante che il mercato si e' atteso in passato coincida con il ritorno ex post che effettivamente si e' realizzato e che la distribuzione di probabilita' dei ritorni sia dovuta a un processo generatore dei dati stazionario nel tempo, che non subisce cioe' breaks strutturali. Sono ipotesi molto forti Barbara e probabilmente errate, ma sono necessarie per spiegare perche' alcuni ricercatori sarebbero d'accordo con tuo marito nell'affermare che il ritorno medio passato delle azioni e' la migliore aspettativa del ritorno del prossimo anno. Con queste due ipotesi e dimenticandoci dell'incertezza riguardo alla vera media della distribuzione passata, dovuta all'elevato errore standard, si puo' appunto stimare che il rendimento atteso sia pari a quello medio storico, ipotizzando che sia quello vero e che sia stabile nel tempo.
-Barbara. Ma cosa si intende con rendimento atteso?
-Marco. Barbara adesso ti spieghero' cosa si intende per rendimento atteso parlandoti del lancio di due dadi.
-Barbara. Cosa? Aiuto...
-Marco. Non preoccuparti. Fidati, e' molto utile per capire il problema dell'imprevedibilita' del mercato azionario.
-Barbara. Va bene allora. Dimmi dai.
-Marco. Se si lanciano due dadi, secondo te qual'e' il numero totale, facendo la somma delle uscite dei due dati, che si ottiene piu' spesso?
-Barbara. Ma non sono mai stata brava in matematica Marco. Non farmi diventare matta, per favore.
-Marco. Ragioniamo insieme allora. Per ottenere la somma di 2, cosa deve uscire?
-Barbara. Direi 1 su un dado e 1 sull'altro. No?
-Marco. Eh si Barbara hai ragione. Quindi lanciando due dadi vi e' solo una coppia di facce che porta alla somma di 2. E per ottenere la somma di 3?
-Barbara. Allora, il 3 lo si ottiene con l'uscita di 1 e di 2 e viceversa. Giusto?
-Marco. Esatto! Quindi per avere la somma di 3, possono uscire 2 coppie di facce, su un dato 1 e sull'altro 2, su un dato 2 e sull'altro 1. Cosa noti?
-Barbara. Per ottenere la somma di 2 deve uscire una sola coppia di facce, mentre per avere la somma di 3 esistono due coppie possibili.
-Marco. Infatti! Lanciando due dadi possono uscire in totale 36 coppie di numeri (6*6). Se per ottenere la somma di 2, vi e' solo 1 coppia utile, allora la probabilita' di avere la somma di 2 sara' di 1 : 36, non credi?
-Barbara. E' vero! Quindi la probabilita' di ottenere la somma di 3 e' di 2 : 36. Dimmi che e' esatto?
-Marco. Hai ragione Barbara! Guarda questa tabella che mostra tutte le coppie che formano le varie somme, da 2 a 12. Che vedi?




-Barbara. La somma di 7 ha il numero di coppie maggiore. Quindi forse ha una probabilita' di 6 : 36 di uscire. Ho capito bene?
-Marco. Eccome se hai capito! Quindi il numero 7 e' il numero che uscira' piu' volte nel lancio di due dadi. Nel lancio di due dai il 7 e' il nostro numero atteso. Come si capisce bene da quest'altra tabella. Guarda bene Barbara.



-Barbara. Quindi la somma di 7 ha il 16,67% di probabilita' di uscire. Le percentuali sono simmetriche attorno al numero atteso. E' normale?
-Marco. Bella questa Barbara! Ti sei data la risposta da sola. E' proprio normale che sia cosi' la distribuzione di probabilita', in quanto e' proprio normale. La distribuzione normale e' simmetrica attorno alla media, ossia ha l'area a destra e a sinistra del valore medio identiche, con coefficiente di asimmetria pari a 0. Tale distribuzione e' caratterizzata completamente dai suoi primi due momenti, la media e la deviazione standard, e per questo e' cosi' usata nella finanza moderna, anche se forse non e' la migliore rappresentazione della realta'.
-Barbara. Il fatto che la somma di 7 esca piu' volte delle altre non significa che ci si debba sempre fare affidamento. Giusto?
-Marco. Certo Barbara! Possono uscire anche altre somme. Come 5, 8, 3 o 11. Il caso e' proprio questo. Adesso ti mostro come si simulano i lanci di due dadi con questo software che ho installato nel mio computer. Se simuliamo di lanciare i due dadi per 134 volte, il software ci mostra le somme che escono di volta in volta. Ora se sottraiamo il nostro numero atteso, cioe' il 7, alle 134 uscite otteniamo questo grafico. Guardiamolo insieme Barbara.





-Marco. Come puoi ben vedere, notando che vi sono solo 13 risultati vuoti, lanciando 134 volte due dadi il software ha fatto uscire solo 13 volte il nostro numero atteso, cioe' il 7. Anzi, si notano diverse serie di uscite minori del rendimento atteso. La piu' lunga conta cinque valori consecutivi minori di 7. Dal grafico si capisce perche' i risultati del lancio di due dadi sono considerati casuali. Ossia, la somma del lancio di due lanci varia in modo casuale attorno al numero 7.
-Barbara. Ma come mai le 13 uscite del 7 non costituiscono il 16,7% delle uscite come ci aspettiamo?
-Marco. Perche' Barbara abbiamo lanciato i due dadi solo 134 volte. Questo dimostra come la legge dei piccoli numeri non sia valida, ovviamente. Al contrario della legge dei grandi numeri. Facciamo una prova con le simulazioni. Guarda. Se simuliamo 1 lancio di due dadi esce la somma di 5 (0% per il 7), se simuliamo 100 lanci di due dadi esce 20 volte la somma di 6 e solo 16 volte la somma di 7 (16% per il 7), se simuliamo 1000 lanci di due dadi esce 165 volte la somma di 7 (16,5% per il 7), se simuliamo 10000 lanci di due dadi esce 1744 volte la somma di 7 (17,44% per il 7), se simuliamo 25000 lanci di due dadi esce 4189 volte la somma di 7 (16,7% per il 7). Come prescrive la legge dei grandi numeri, al crescere del numero dei lanci, le frequenze ottenute si avvicinano a quanto ci si aspetta dal calcolo delle probabilita'.
-Barbara. Ho capito Marco. Ma tutto questo come si allaccia al rendimento che ci si puo' attendere il prossimo anno in Borsa?
-Marco. Adesso ti faccio vedere. Se analizziamo i rendimenti reali totali, cioe' al netto dell'inflazione e compresi i dividendi, del mercato statunitense dal 1871 al 2004 si trova che la media aritmetica dei rendimenti annui e' stata di circa l'8%, con una deviazione standard di circa il 18%. Ora, se sottraiamo la media storica dai rendimenti reali che si sono realizzati nel vari anni, otteniamo questo grafico. Osserviamolo insieme.





-Marco. Come puoi vedere, il grafico creato con i rendimenti della Borsa statunitense e' simile a quello ottenuto con il lancio dei due dadi. Anche per il mercato azionario, cosi' come per il lancio dei due dadi i risultati annuali possono essere ben diversi dal rendimento atteso, ossia da quello storico. Dire che il lancio di due dadi ha un numero atteso pari a 7 e' come affermare che il rendimento atteso del mercato azionario e' pari all'8%. I risultati annuali si muovono in modo casuale, e quindi imprevedibile, intorno alla media storica. Infatti, come per il lancio di due dadi vi sono serie di risultati minori del numero 7, cosi' per il mercato azionario vi sono stati anni consecutivi in cui il rendimento reale effettivamente realizzato e' stato minore del rendimento atteso di circa l'8%.
Dal 1881 al 1884 vi sono stati 4 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 2 con rendimenti reali negativi,
dal 1892 al 1896 vi sono stati 5 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 2 con rendimenti reali negativi,
dal 1909 al 1914 vi sono stati 6 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 3 con rendimenti reali negativi,
dal 1916 al 1920 vi sono stati 5 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 4 con rendimenti reali negativi,
dal 1929 al 1932 vi sono stati 4 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 3 con rendimenti reali negativi,
dal 1939 al 1941 vi sono stati 3 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 2 con rendimenti reali negativi,
dal 1968 al 1970 vi sono stati 3 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 1 con rendimento reale negativo,
dal 1976 al 1979 vi sono stati 4 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 1 con rendimento reale negativo,
dal 2000 al 2002 vi sono stati 3 anni con rendimenti reali minori del rendimento medio, di cui 3 con rendimenti reali negativi. In totale, di 67 anni con rendimenti reali annui minori del rendimento medio, 41 hanno avuto rendimenti reali negativi, cioe' circa il 60%.
-Barbara. Adesso capisco perche' mi dici spesso che l'investimento azionario e' molto rischioso!
-Marco. Il mercato azionario statunitense e' stato rischioso in passato perche' il rendimento medio e' stato di circa l'8% con una deviazione standard di circa il 18%. Ipotizzando che la distribuzione che rappresenta al meglio i rendimenti azionari sia quella normale, significa che si poteva essere confidenti al 99,7% di probabilita' che il rendimento reale annuo sarebbe stato pari al rendimento medio +/- 3 deviazioni standard, cioe' che sarebbe stato compreso tra -46% e + 62%. Ci sarebbe stata una probabilita' dello 0,15% che il rendimento annuo potesse essere inferiore a -46% e una probabilita' dello 0,15% che il rendimento annuo potesse essere superiore a +62%.
-Barbara. Pero' Marco! Le perdite di prezzo delle azioni anche molto marcate sono piu' probabili di quanto pensassi io, senza calcolare precisamente i valore come hai fatto tu, ma basandomi sui risultati annuali recenti del mercato italiano.
-Marco. Barbara pensa che il mercato azionario italiano nel ventesimo secolo e' stato molto piu' rischioso di quello statunitense, decisamente uno di quelli che ha dato i risultati peggiori per coloro che hanno investito, anche per un lungo periodo di tempo. E poi non dimenticare che quasi sicuramente la distribuzione normale non e' corretta per descrivere i cambiamenti di prezzo delle azioni, essendo troppo benevola diciamo, in quanto all'allontanarsi dalla media la velocita' con cui le probabilita' diminuiscono aumenta sempre di piu'. Crolli come quello che si e' verificato il 19 Ottobre del 1987 secondo la curva di Gauss ha una probabilita' di realizzarsi assolutamente trascurabile.
-Barbara. Ho capito Marco. Comincio a capire un po' meglio come mai cosi' poche persone decidono di investire i loro risparmi nel mercato azionario. Se stanno cosi' le cose, devo ammettere che mio marito aveva ragione! Conviene considerare i rendimenti reali annui che si ricevono dall'investimento in azioni come casuali e quindi imprevedibili, con rendimento atteso pari all'8%. E' cosi', vero?
-Marco. Eh non proprio Barbara. Come ti ho detto, molti ricercatori finanziari ritengono che il rendimento che si e' realizzato in passato, anche in Usa, non sia pari a quello che si potevano aspettare ragionevolmente gli investitori in passato, ma che sia molto piu' alto e dovuto sostanzialmente ad eventi fortunati, altri ancora non considerano la distribuzione di probabilita' dei ritorni stazionaria nel tempo, per cui i risultati del mercato azionario potrebbero essere piu' incerti di quanto non racconti il grafico che abbiamo costruito precedentemente. Per non parlare dell'elevata incertezza riguardo alla vera media della distribuzione, che anche coloro che sono piu' fiduciosi diciamo nelle caratteristiche del mercato azionario, devono affrontare. Te ne parlero' un'altra volta, ti posso solo anticipare per ora che se la distribuzione e' normale, data la deviazione standard di circa il 18%, l'errore standard, pari alla volatilita' diviso la radice quadrata del tempo, e' pari per 134 anni a 1,55%. Quindi si puo' essere confidenti al 99,7% che la vera media della distribuzione sia compresa tra 3,35% e 12,65%.
-Barbara. Eh insomma Marco, ce ne e' sempre una! Basta per oggi, sono apposto. Troppi calcoli e troppe informazioni! Rimandiamo le ulteriori spiegazioni alla prossima volta che ci vediamo. Ok?
-Marco. Va bene Barbara. Sei stata molto brava comunque. Alla prossima. Ciao.
-Barbara. Ciao Marco.